Série média automática movimentação média

Há uma série de abordagens para a modelagem de séries temporais. Descrevemos algumas das abordagens mais comuns abaixo. Tendência, Decomposições Sazonais, Residuais Uma abordagem consiste em decompor as séries temporais em uma componente tendencial, sazonal e residual. A suavização exponencial tripla é um exemplo desta abordagem. Outro exemplo, chamado loess sazonal, é baseado em mínimos quadrados ponderados localmente e é discutido por Cleveland (1993). Não discutimos o loess sazonal neste manual. Métodos baseados em freqüência Outra abordagem, comumente utilizada em aplicações científicas e de engenharia, é analisar as séries no domínio da freqüência. Um exemplo desta abordagem ao modelar um conjunto de dados de tipo sinusoidal é mostrado no estudo de caso de deflexão de feixe. O gráfico espectral é a principal ferramenta para a análise de freqüência de séries temporais. Modelos Autoregressivos (AR) Uma abordagem comum para modelar séries temporais univariadas é o modelo autorregressivo (AR): Xt delta phi1 X phi2 X cdots phip X Em, onde (Xt) é a série temporal, (At) é ruído branco e delta Esquerda (1 - sum p phii direita) mu. Com (mu) denotando a média do processo. Um modelo autorregressivo é simplesmente uma regressão linear do valor atual da série contra um ou mais valores anteriores da série. O valor de (p) é chamado a ordem do modelo AR. Os modelos AR podem ser analisados ​​com um de vários métodos, incluindo técnicas de mínimos quadrados lineares padrão. Eles também têm uma interpretação direta. Modelos de média móvel (MA) Outra abordagem comum para a modelagem de modelos de séries temporais univariadas é o modelo de média móvel (MA): Xt mu At - theta1 A - theta2 A - cdots - thetaq A, onde (Xt) é a série temporal ) É a média da série, (A) são termos de ruído branco, e (theta1,, ldots,, thetaq) são os parâmetros do modelo. O valor de (q) é chamado a ordem do modelo MA. Isto é, um modelo de média móvel é conceitualmente uma regressão linear do valor actual da série contra o ruído branco ou choques aleatórios de um ou mais valores anteriores da série. Os choques aleatórios em cada ponto são assumidos como provenientes da mesma distribuição, normalmente uma distribuição normal, com localização em zero e escala constante. A distinção neste modelo é que estes choques aleatórios são propogated aos valores futuros das séries de tempo. Montar as estimativas MA é mais complicado do que com os modelos AR, porque os termos de erro não são observáveis. Isto significa que procedimentos de montagem não-linear iterativos precisam ser usados ​​em vez de mínimos quadrados lineares. Os modelos MA também têm uma interpretação menos óbvia do que os modelos AR. Às vezes, o ACF e PACF sugerem que um modelo de MA seria uma melhor escolha de modelo e às vezes tanto AR e MA termos devem ser utilizados no mesmo modelo (ver Secção 6.4.4.5). Observe, entretanto, que os termos de erro após o ajuste do modelo devem ser independentes e seguir os pressupostos padrão para um processo univariável. Box e Jenkins popularizaram uma abordagem que combina a média móvel e as abordagens autorregressivas no livro Análise de Séries Temporais: Previsão e Controle (Box, Jenkins e Reinsel, 1994). Embora as abordagens da média autorregressiva e da média móvel fossem já conhecidas (e foram originalmente investigadas por Yule), a contribuição de Box e Jenkins foi no desenvolvimento de uma metodologia sistemática para identificar e estimar modelos que poderiam incorporar ambas as abordagens. Isso torna Box-Jenkins modelos uma classe poderosa de modelos. As próximas seções irão discutir esses modelos detalhadamente. Modelos ARMA (p, q) ARMA Modelos para Análise de Série de Tempo - Parte 3 Esta é a terceira e última post da mini-série sobre modelos de média móvel auto-regressiva (ARMA) para o tempo Série. Weve introduziu modelos autorregressivos e modelos de média móvel nos dois artigos anteriores. Agora é hora de combiná-los para produzir um modelo mais sofisticado. Em última análise, isso nos levará aos modelos ARIMA e GARCH que nos permitirão prever os retornos dos ativos e prever a volatilidade. Estes modelos constituirão a base para a negociação de sinais e técnicas de gestão de risco. Se você leu Parte 1 e Parte 2 você terá visto que tendemos a seguir um padrão para a nossa análise de um modelo de série de tempo. Ill repeti-lo brevemente aqui: Racional - Por que estamos interessados ​​neste modelo específico Definição - Uma definição matemática para reduzir a ambigüidade. Correlograma - Traçar um correlograma de amostra para visualizar o comportamento de um modelo. Simulação e Montagem - Ajustar o modelo a simulações, a fim de assegurar que o weve compreendeu o modelo corretamente. Dados financeiros reais - Aplicar o modelo aos preços dos ativos reais reais. Previsão - Previsão de valores subseqüentes para construir sinais de negociação ou filtros. Para seguir este artigo é aconselhável dar uma olhada nos artigos anteriores sobre a análise de séries temporais. Todos podem ser encontrados aqui. Critério Bayesiano de Informações Na Parte 1 deste artigo, analisámos o Critério de Informação Akaike (AIC) como um meio de nos ajudar a escolher entre os melhores modelos de séries temporais. Uma ferramenta estreitamente relacionada é o critério Bayesiano de Informação (BIC). Essencialmente, tem comportamento semelhante ao AIC, pois penaliza os modelos por terem muitos parâmetros. Isto pode conduzir a overfitting. A diferença entre o BIC eo AIC é que o BIC é mais rigoroso com a penalização de parâmetros adicionais. Critério Bayesiano de Informações Se tomarmos a função de verossimilhança para um modelo estatístico, que tenha k parâmetros, e L maximize a probabilidade. Então o critério Bayesiano de Informação é dado por: Onde n é o número de pontos de dados na série temporal. Usaremos o AIC eo BIC abaixo ao escolher modelos ARMA (p, q) apropriados. Ljung-Box Test Na Parte 1 deste artigo, Rajan mencionou nos comentários de Disqus que o teste de Ljung-Box era mais apropriado do que usar o Critério de Informação Akaike do Critério de Informação Bayesiano para decidir se um modelo ARMA era um bom ajuste para um tempo Series. O teste de Ljung-Box é um teste de hipóteses clássico que é projetado para testar se um conjunto de autocorrelações de um modelo de séries de tempo ajustado diferem significativamente de zero. O teste não testar cada atraso individual para aleatoriedade, mas sim testa a aleatoriedade sobre um grupo de defasagens. Teste de Ljung-Box Definimos a hipótese nula como: Os dados da série de tempo em cada lag são i. i.d .. isto é, as correlações entre os valores da série de população são zero. Definimos a hipótese alternativa como: Os dados da série de tempo não são i. i.d. E possuem correlação serial. Calculamos a seguinte estatística de teste. Q: Onde n é o comprimento da amostra de séries temporais, hat k é a autocorrelação da amostra com atraso k eh é o número de atrasos no teste. A regra de decisão sobre se rejeitar a hipótese nula é verificar se Q gt chi2, para uma distribuição qui-quadrado com h graus de liberdade no percentil 100 (1-alfa). Embora os detalhes do teste possam parecer um pouco complexos, podemos de fato usar R para calcular o teste para nós, simplificando o procedimento um pouco. Agora que discutimos o BIC e o teste de Ljung-Box, estávamos prontos para discutir o nosso primeiro modelo misto, ou seja, a Média Móvel Autoresgressiva de ordem p, q, ou ARMA (p, Q). Até o momento, consideramos processos autorregressivos e processos de média móvel. O modelo anterior considera seu próprio comportamento passado como insumos para o modelo e, como tal, tenta capturar efeitos de participantes no mercado, como momentum e reversão média na negociação de ações. O último modelo é usado para caracterizar informações de choque em uma série, como um anúncio de ganhos surpresa ou evento inesperado (como o derramamento de óleo BP Deepwater Horizon). Assim, um modelo ARMA tenta capturar ambos os aspectos ao modelar séries de tempo financeiro. Note-se que um modelo ARMA não leva em conta a volatilidade clustering, um fenômeno empírico chave de muitas séries financeiras. Não é um modelo condicionalmente heterocedástico. Para isso teremos de esperar pelos modelos ARCH e GARCH. Definição O modelo ARMA (p, q) é uma combinação linear de dois modelos lineares e, portanto, é ainda linear: Modelo de ordem temporal p, q Um modelo de série temporal, é um modelo de média móvel autorregressiva de ordem p, q . Onde está o ruído branco com E (wt) 0 e variância sigma2. Onde está o ruído branco com E (wt) 0 e variância sigma2. Se considerarmos o Backward Shift Operator. (Veja um artigo anterior), então podemos reescrever o acima como uma função theta e phi de: Podemos ver diretamente que, ao definir p neq 0 e q0, recuperamos o modelo AR (p). Da mesma forma, se definimos p 0 e q neq 0, recuperamos o modelo MA (q). Uma das principais características do modelo ARMA é que ele é parcimonioso e redundante em seus parâmetros. Ou seja, um modelo ARMA, muitas vezes, exigem menos parâmetros do que um modelo AR (p) ou MA (q) sozinho. Além disso, se reescrevemos a equação em termos do BSO, então os polinômios theta e phi podem às vezes compartilhar um fator comum, levando assim a um modelo mais simples. Simulações e Correlogramas Como com os modelos de média autorregressiva e móvel, vamos agora simular várias séries ARMA e, em seguida, tentar ajustar modelos ARMA a estas realizações. Nós realizamos isso porque queremos garantir que entendemos o procedimento de montagem, incluindo como calcular os intervalos de confiança para os modelos, bem como garantir que o procedimento realmente recuperar estimativas razoáveis ​​para os parâmetros ARMA original. Na Parte 1 e Parte 2 construímos manualmente as séries AR e MA tirando N amostras de uma distribuição normal e, em seguida, criando o modelo de série temporal específico usando atrasos dessas amostras. No entanto, há uma maneira mais simples de simular AR, MA, ARMA e ARIMA dados, simplesmente usando o método arima. sim em R. Vamos começar com o mais simples possível não trivial ARMA modelo, ou seja, o ARMA (1,1 ) modelo. Ou seja, um modelo autorregressivo de ordem um combinado com um modelo de média móvel de ordem um. Tal modelo tem apenas dois coeficientes, alfa e beta, que representam os primeiros desfasamentos da série de tempo em si e os termos de ruído de choque branco. Esse modelo é dado por: Precisamos especificar os coeficientes antes da simulação. Vamos tomar alpha 0,5 e beta -0,5: A saída é a seguinte: Vamos também traçar o correlograma: Podemos ver que não há autocorrelação significativa, o que é de esperar de um modelo ARMA (1,1). Finalmente, vamos tentar determinar os coeficientes e seus erros padrão usando a função arima: Podemos calcular os intervalos de confiança para cada parâmetro usando os erros padrão: Os intervalos de confiança contêm os valores dos parâmetros verdadeiros para ambos os casos, no entanto, 95 intervalos de confiança são muito amplos (uma consequência dos erros padrão razoavelmente grandes). Vamos agora tentar um modelo ARMA (2,2). Ou seja, um modelo AR (2) combinado com um modelo MA (2). Precisamos especificar quatro parâmetros para este modelo: alfa1, alfa2, beta1 e beta2. Vamos pegar alpha1 0.5, alpha2-0.25 beta10.5 e beta2-0.3: A saída do nosso modelo ARMA (2,2) é a seguinte: E a autocorelação correspondente: Podemos agora tentar montar um modelo ARMA (2,2) para Os dados: Também podemos calcular os intervalos de confiança para cada parâmetro: Observe que os intervalos de confiança para os coeficientes para a componente média móvel (beta1 e beta2) não contêm realmente o valor do parâmetro original. Contudo, para fins comerciais, precisamos apenas de um poder preditivo que exceda o acaso e produza lucros suficientes acima dos custos de transação, a fim de ser rentável em termos de custos. A longo prazo. Agora que temos visto alguns exemplos de modelos ARMA simulados, precisamos de um mecanismo para escolher os valores de p e q quando se encaixam nos modelos a dados financeiros reais. Escolhendo o melhor modelo ARMA (p, q) Para determinar qual ordem p, q do modelo ARMA é apropriada para uma série, precisamos usar o AIC (ou BIC) em um subconjunto de valores para p, q, e Em seguida, aplicar o teste Ljung-Box para determinar se um bom ajuste foi alcançado, para valores específicos de p, q. Para mostrar este método, vamos primeiro simular um determinado processo ARMA (p, q). Em seguida, faremos um loop sobre todos os valores pairwise de p in e q in e calculamos o AIC. Vamos selecionar o modelo com o menor AIC e, em seguida, executar um teste de Ljung-Box sobre os resíduos para determinar se conseguimos um bom ajuste. Vamos começar simulando uma série ARMA (3,2): Agora vamos criar um objeto final para armazenar o melhor ajuste do modelo eo menor valor AIC. Percorremos as várias combinações p, q e usamos o objeto atual para armazenar o ajuste de um modelo ARMA (i, j), para as variáveis ​​looping i e j. Se o AIC atual for menor que qualquer AIC previamente calculado, definiremos o AIC final para este valor atual e selecionaremos essa ordem. Após a terminação do loop, temos a ordem do modelo ARMA armazenado em final. order e o ARIMA (p, d, q) se encaixa (com o componente d integrado definido como 0) armazenado como final. arma: Permite a saída do AIC , Ordem e coeficientes ARIMA: Podemos ver que a ordem original do modelo ARMA simulado foi recuperada, nomeadamente com p3 e q2. Podemos plotar o corelograma dos resíduos do modelo para ver se eles parecem uma realização de ruído branco discreto (DWN): O corelograma realmente parece uma realização de DWN. Finalmente, realizamos o teste de Ljung-Box para 20 lags para confirmar isso: Observe que o valor p é maior que 0,05, o que indica que os resíduos são independentes no nível 95 e, portanto, um modelo ARMA (3,2) Bom ajuste do modelo. No entanto, este é precisamente o procedimento que vamos usar quando chegarmos a ajustar modelos ARMA (p, q) para o índice SampP500 na seção a seguir. Dados Financeiros Agora que descrevemos o procedimento para escolher o modelo de série temporal ideal para uma série simulada, é bastante simples aplicá-lo aos dados financeiros. Para este exemplo, vamos escolher mais uma vez o SampP500 US Equity Index. Permite fazer o download dos preços de fechamento diários usando o quantmod e, em seguida, criar o fluxo de retorno do log: Permite executar o mesmo procedimento de ajuste que para a série ARMA (3,2) simulada acima no log retorna série do SampP500 usando o AIC: Tem a ordem ARMA (3,3): Permite traçar os resíduos do modelo ajustado para o fluxo de retorno diário do SampP500: Observe que há alguns picos significativos, especialmente em defasagens maiores. Isto é indicativo de um ajuste pobre. Vamos realizar um teste de Ljung-Box para ver se temos evidências estatísticas para isso: Como nós suspeitamos, o valor p é menor que 0,05 e, como tal, não podemos dizer que os resíduos são uma realização de ruído branco discreto. Portanto, há autocorrelação adicional nos resíduos que não é explicada pelo modelo ARMA (3,3). Próximas etapas Como discutimos ao longo desta série de artigos, vimos evidências de heterocedasticidade condicional (agrupamento de volatilidade) na série SampP500, especialmente nos períodos em torno de 2007-2008. Quando usamos um modelo GARCH mais tarde na série de artigos, veremos como eliminar essas autocorrelações. Na prática, os modelos ARMA nunca são geralmente bons ajustes para retorno de ações log. Precisamos levar em conta a heterocedasticidade condicional e usar uma combinação de ARIMA e GARCH. O próximo artigo irá considerar ARIMA e mostrar como o componente integrado difere do modelo ARMA que temos considerado neste artigo. Modelos Autoregressivos Em um modelo de regressão múltipla, projetamos a variável de interesse usando uma combinação linear de preditores. Em um modelo de autorregressão, projetamos a variável de interesse usando uma combinação linear de valores passados ​​da variável. O termo regressão automática indica que é uma regressão da variável contra si mesma. Assim, um modelo autorregressivo de ordem p pode ser escrito como onde c é uma constante e et é ruído branco. Isto é como uma regressão múltipla, mas com valores defasados ​​de yt como preditores. Referimo-nos a isto como um modelo AR (p). Modelos auto-regressivos são notavelmente flexíveis no manuseio de uma ampla gama de diferentes padrões de séries temporais. As duas séries na Figura 8.5 mostram séries de um modelo AR (1) e um modelo AR (2). Alterando os parâmetros phi1, dots, phip resulta em diferentes padrões de séries temporais. A variância do termo de erro e só mudará a escala da série, não os padrões. Figura 8.5: Dois exemplos de dados de modelos autorregressivos com diferentes parâmetros. Esquerda: AR (1) com yt 18 -0,8y et. Direita: AR (2) com yt 8 ​​1,3y -0,7y et. Em ambos os casos, et é normalmente distribuído ruído branco com zero médio e variância um. Para um modelo AR (1): Quando phi10, yt é equivalente a ruído branco. Quando phi11 e c0, yt é equivalente a uma caminhada aleatória. Quando phi11 e cne0, yt é equivalente a uma caminhada aleatória com drift Quando ph1lt0, yt tende a oscilar entre valores positivos e negativos. Normalmente, restringimos modelos autorregressivos a dados estacionários e, em seguida, algumas restrições sobre os valores dos parâmetros são necessárias. Para um modelo AR (1): -1 lt phi1 lt 1. Para o modelo AR (2): -1 lt phi2 lt 1, phi1phi2 lt 1, phi2-phi1 lt 1. Quando pge3 as restrições são muito mais complicadas. R cuida dessas restrições ao estimar um modelo.2.1 Modelos de média móvel (modelos MA) Modelos de séries temporais conhecidos como modelos ARIMA podem incluir termos auto-regressivos ou termos de média móvel. Na Semana 1, aprendemos um termo autorregressivo em um modelo de séries temporais para a variável x t é um valor retardado de x t. Por exemplo, um termo autorregressivo de atraso 1 é x t-1 (multiplicado por um coeficiente). Esta lição define termos de média móvel. Um termo de média móvel em um modelo de séries temporais é um erro passado (multiplicado por um coeficiente). Vamos (wt desviar N (0, sigma2w)), significando que os w t são identicamente, distribuídos independentemente, cada um com uma distribuição normal com média 0 e a mesma variância. O modelo de média móvel de ordem 1, denotado por MA (1) é (xt mu wt theta1w) O modelo de média móvel de 2ª ordem, denotado por MA (2) é (xt mu wt theta1w theta2w) , Denotado por MA (q) é (xt mu wt theta1w theta2w pontos thetaqw) Nota. Muitos livros didáticos e programas de software definem o modelo com sinais negativos antes dos termos. Isso não altera as propriedades teóricas gerais do modelo, embora ele inverta os sinais algébricos de valores de coeficientes estimados e de termos (não-quadrados) nas fórmulas para ACFs e variâncias. Você precisa verificar seu software para verificar se sinais negativos ou positivos foram usados ​​para escrever corretamente o modelo estimado. R usa sinais positivos em seu modelo subjacente, como fazemos aqui. Propriedades Teóricas de uma Série de Tempo com um Modelo MA (1) Observe que o único valor não nulo na ACF teórica é para o atraso 1. Todas as outras autocorrelações são 0. Assim, uma ACF de amostra com uma autocorrelação significativa apenas no intervalo 1 é um indicador de um possível modelo MA (1). Para os estudantes interessados, provas destas propriedades são um apêndice a este folheto. Exemplo 1 Suponha que um modelo MA (1) seja x t 10 w t .7 w t-1. Onde (wt overset N (0,1)). Assim, o coeficiente 1 0,7. O ACF teórico é dado por Um gráfico deste ACF segue. O gráfico apenas mostrado é o ACF teórico para um MA (1) com 1 0,7. Na prática, uma amostra normalmente não proporciona um padrão tão claro. Usando R, simulamos n 100 valores de amostra usando o modelo x t 10 w t .7 w t-1 onde w t iid N (0,1). Para esta simulação, segue-se um gráfico de séries temporais dos dados da amostra. Não podemos dizer muito desse enredo. A ACF de amostra para os dados simulados segue. Observamos que a amostra ACF não corresponde ao padrão teórico do MA subjacente (1), ou seja, que todas as autocorrelações para os atrasos de 1 serão 0 Uma amostra diferente teria uma ACF de amostra ligeiramente diferente mostrada abaixo, mas provavelmente teria as mesmas características gerais. Propriedades teóricas de uma série temporal com um modelo MA (2) Para o modelo MA (2), as propriedades teóricas são as seguintes: Note que os únicos valores não nulos na ACF teórica são para os retornos 1 e 2. As autocorrelações para atrasos maiores são 0 . Assim, uma ACF de amostra com autocorrelações significativas nos intervalos 1 e 2, mas autocorrelações não significativas para atrasos maiores indica um possível modelo MA (2). Iid N (0,1). Os coeficientes são 1 0,5 e 2 0,3. Como este é um MA (2), o ACF teórico terá valores não nulos apenas nos intervalos 1 e 2. Os valores das duas autocorrelações não nulas são: Um gráfico do ACF teórico segue. Como quase sempre é o caso, dados de exemplo não vai se comportar tão perfeitamente como a teoria. Foram simulados n 150 valores de amostra para o modelo x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Onde w t iid N (0,1). O gráfico de série de tempo dos dados segue. Como com o gráfico de série de tempo para os dados de amostra de MA (1), você não pode dizer muito dele. A ACF de amostra para os dados simulados segue. O padrão é típico para situações em que um modelo MA (2) pode ser útil. Existem dois picos estatisticamente significativos nos intervalos 1 e 2, seguidos por valores não significativos para outros desfasamentos. Note que devido ao erro de amostragem, a ACF da amostra não corresponde exactamente ao padrão teórico. ACF para Modelos Gerais MA (q) Uma propriedade dos modelos MA (q) em geral é que existem autocorrelações não nulas para os primeiros q lags e autocorrelações 0 para todos os retornos gt q. Não-unicidade de conexão entre os valores de 1 e (rho1) no modelo MA (1). No modelo MA (1), para qualquer valor de 1. O recíproco 1 1 dá o mesmo valor para Como exemplo, use 0,5 para 1. E então use 1 (0,5) 2 para 1. Você obterá (rho1) 0,4 em ambas as instâncias. Para satisfazer uma restrição teórica chamada invertibilidade. Restringimos modelos MA (1) para ter valores com valor absoluto menor que 1. No exemplo dado, 1 0,5 será um valor de parâmetro permitido, enquanto 1 10,5 2 não. Invertibilidade de modelos MA Um modelo MA é dito ser inversível se for algébrica equivalente a um modelo de ordem infinita convergente. Por convergência, queremos dizer que os coeficientes de RA diminuem para 0 à medida que avançamos no tempo. Invertibilidade é uma restrição programada em séries temporais de software utilizado para estimar os coeficientes de modelos com MA termos. Não é algo que verificamos na análise de dados. Informações adicionais sobre a restrição de invertibilidade para modelos MA (1) são fornecidas no apêndice. Teoria Avançada Nota. Para um modelo MA (q) com um ACF especificado, existe apenas um modelo invertible. A condição necessária para a invertibilidade é que os coeficientes têm valores tais que a equação 1- 1 y-. - q y q 0 tem soluções para y que caem fora do círculo unitário. Código R para os Exemplos No Exemplo 1, traçamos o ACF teórico do modelo x t 10w t. 7w t-1. E depois simularam n 150 valores a partir deste modelo e traçaram a amostra de séries temporais ea amostra ACF para os dados simulados. Os comandos R utilizados para traçar o ACF teórico foram: acfma1ARMAacf (mac (0.7), lag. max10) 10 lags de ACF para MA (1) com theta1 0.7 lags0: 10 cria uma variável chamada lags que varia de 0 a 10. plot (Lags, acfma1, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF principal para MA (1) com theta1 0,7) abline (h0) adiciona um eixo horizontal ao gráfico O primeiro comando determina o ACF e o armazena em um objeto Chamado acfma1 (nossa escolha de nome). O comando de plotagem (o terceiro comando) traça defasagens em relação aos valores de ACF para os retornos de 1 a 10. O parâmetro ylab marca o eixo y eo parâmetro principal coloca um título no gráfico. Para ver os valores numéricos do ACF basta usar o comando acfma1. A simulação e as parcelas foram feitas com os seguintes comandos. Xcarima. sim (n150, lista (mac (0.7))) Simula n 150 valores de MA (1) xxc10 adiciona 10 para fazer a média 10. Padrões de simulação significam 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) Acf (x, xlimc (1,10), mainACF para dados de amostras simulados) No Exemplo 2, traçamos o ACF teórico do modelo xt 10 wt. 5 w t-1 .3 w t-2. E depois simularam n 150 valores a partir deste modelo e traçaram a amostra de séries temporais ea amostra ACF para os dados simulados. Os comandos R utilizados foram acfma2ARMAacf (mac (0,5,0,3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 parcela (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, tipoh, ACF principal para MA (2) com theta1 0,5, (X, typeb, main Simulado MA (2) Series) acf (x, xlimc (1,10), x2, MainACF para dados simulados de MA (2) Apêndice: Prova de Propriedades de MA (1) Para estudantes interessados, aqui estão as provas para propriedades teóricas do modelo MA (1). Quando h 1, a expressão anterior 1 w 2. Para qualquer h 2, a expressão anterior 0 (x) é a expressão anterior x (x) A razão é que, por definição de independência do wt. E (w k w j) 0 para qualquer k j. Além disso, porque w t tem média 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Para uma série de tempo, aplique este resultado para obter o ACF fornecido acima. Um modelo MA reversível é aquele que pode ser escrito como um modelo de ordem infinita AR que converge de modo que os coeficientes AR convergem para 0 à medida que nos movemos infinitamente para trás no tempo. Bem demonstrar invertibilidade para o modelo MA (1). Em seguida, substitui-se a relação (2) para wt-1 na equação (1) (3) (zt wt theta1 (z-theta1w) wt theta1z-theta2w) No tempo t-2. A equação (2) torna-se Então substituimos a relação (4) para wt-2 na equação (3) (zt wt theta1 z - theta21w wt theta1z - theta21 (z - theta1w) wt theta1z-theta12z theta31w) Se continuássemos Infinitamente), obteríamos o modelo AR de ordem infinita (zt wt theta1 z - theta21z theta31z - theta41z pontos) Observe, no entanto, que se 1 1, os coeficientes multiplicando os desfasamentos de z aumentarão (infinitamente) Tempo. Para evitar isso, precisamos de 1 lt1. Esta é a condição para um modelo MA (1) invertible. Infinite Order MA model Na semana 3, bem ver que um modelo AR (1) pode ser convertido em um modelo de ordem infinita MA: (xt - mu wt phi1w phi21w pontos phik1 w dots sum phij1w) Esta soma de termos de ruído branco passado é conhecido Como a representação causal de um AR (1). Em outras palavras, x t é um tipo especial de MA com um número infinito de termos voltando no tempo. Isso é chamado de ordem infinita MA ou MA (). Uma ordem finita MA é uma ordem infinita AR e qualquer ordem finita AR é uma ordem infinita MA. Lembre-se na Semana 1, observamos que um requisito para um AR estacionário (1) é que 1 lt1. Vamos calcular o Var (x t) usando a representação causal. Esta última etapa usa um fato básico sobre séries geométricas que requer (phi1lt1) caso contrário, a série diverge. Navegação